Урок по вероятности и статистике на тему: "Математические ожидания" для 11 класса

Урок по ВиС по теме

« Математические ожидания » .

11класс ( УМК Е.А. Бунимович)

Выполнила учитель математики МКОУ Куминская СОШ Корзюк Н.Н.

Немного теории.

• В теории вероятностей математическое ожидание показывает, вокруг какого числа колеблются значения случайной величины при бесконечно большом количестве экспериментов. Для двух важнейших дискретных распределений — биномиального и геометрического — существуют простые и красивые формулы, которые позволяют найти это среднее значение, не производя громоздких вычислений.

1. Математическое ожидание биномиального распределения

• Биномиальное распределение описывает количество успехов в серии из фиксированного числа независимых испытаний.
• Мы проводим n одинаковых независимых испытаний. В каждом испытании вероятность наступления события (успеха) постоянна и равна p. Случайная величина X — общее количество успехов.

Математическое ожидание биномиального распределения

• Математическое ожидание случайной величины X , имеющей биномиальное распределение с параметрами n (количество испытаний) и p (вероятность успеха), вычисляется по формуле:

E(X)=n⋅p.

Математическое ожидание биномиального распределения

• Другими словами, если мы подбросим монету 100 раз ( n =100, p =0,5), логично ожидать, что в среднем выпадет 50 орлов. Формула 100⋅0,5=50 подтверждает это.

• Если же мы бросаем игральный кубик 60 раз и считаем выпадение шестёрки успехом ( p =1/6), то в среднем мы ожидаем увидеть шестёрку 60⋅1/6=10 раз.

2. Математическое ожидание геометрического распределения

• Геометрическое распределение описывает количество испытаний до первого успеха.

• Мы проводим последовательность независимых испытаний до тех пор, пока впервые не произойдёт событие (успех). Вероятность успеха в каждом испытании постоянна и равна p. Случайная величина Y — число проведённых испытаний (включая то, в котором наступил успех).

Математическое ожидание геометрического распределения

• Математическое ожидание случайной величины Y , имеющей геометрическое распределение с параметром p (вероятность успеха), вычисляется по формуле:

E(Y)=1/p.

Пример:

• Представь, что мы пытаемся поймать редкую рыбу. Если вероятность поймать рыбу при каждой попытке равна 0,2, то нам потребуется в среднем 1:0,2=5 попыток.
• Важно понимать, что это среднее значение: кому-то может повезти с первого раза, а кто-то будет ждать 10 или 15 попыток, но в долгосрочной перспективе среднее арифметическое количества попыток будет стремиться к 5.

Задание

• Количество бросков симметричной монеты равно 43. Пусть случайная величина X равна количеству выпадений орла. Найди математическое ожидание E(X).

Шаги решения

Так как монета симметричная, вероятность успеха (выпадения орла) p=0,5 . Количество испытаний n= 43.

Для биномиального распределения математическое ожидание вычисляется по формуле E(X)=n⋅p.

E(X)= 43⋅0,5 = 21,5.

Правильный ответ: 21,5.

Следующее задание

Стрелок стреляет по мишеням до первого попадания. Вероятность попадания в каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найди среднее количество патронов, которое потребуется стрелку.

(Ответ при необходимости округли до десятых.)

Шаги решения

• Случайная величина X — количество выстрелов до первого попадания (включая успешный).
• Это геометрическое распределение с параметром p= 0,8.
• Для геометрического распределения математическое ожидание вычисляется по формуле E(X)=1/p.
• E(X)= 1:0,8 = 1,3.
• Правильный ответ: 1,3.

Следующее задание

• В коробке 20 шаров, из которых 15 белые, остальные чёрные. Из коробки 18 раз достают шар, каждый раз возвращая его обратно и тщательно перемешивая шары. Случайная величина Y — количество извлечённых белых шаров. Найди E(Y).

Шаги решения

Так как шары возвращаются обратно, вероятность успеха (достать белый шар) в каждом испытании постоянна.

1. Всего шаров 20, белых — 15, поэтому

p= 15:20 = 0,75.

2. Количество испытаний n= 18.

E(Y)=n⋅p= 18⋅0,75 = 13,5.

Правильный ответ: 13,5.

Реши еще раз.

• В коробке 20 шаров, из которых 5 белые, остальные чёрные. Из коробки 18 раз достают шар, каждый раз возвращая его обратно и тщательно перемешивая шары. Случайная величина Y — количество извлечённых белых шаров. Найди E(Y).

Шаги решения

Так как шары возвращаются обратно, вероятность успеха (достать белый шар) в каждом испытании постоянна.

1. Всего шаров 20, белых — 5, поэтому

p= 5:20 = 0,25.

2. Количество испытаний n= 18.

E(Y)=n⋅p= 18⋅0,25 = 4,5.

Правильный ответ: 4,5.

Задание.

• Стоимость одного лотерейного билета — 100 рублей. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,15. Игрок купил билеты на 2000 рублей. Найди математическое ожидание количества выигрышных билетов, которые окажутся среди купленных.

Шаги решения

1. Сначала определим, сколько билетов куплено.

Количество билетов n= 2000:100 = 20 билетов.

2. Вероятность успеха (выигрыша) для каждого билета p= 0,15.

Количество выигрышных билетов имеет биномиальное распределение.

E=n⋅p= 20⋅0,15 = 3.

Правильный ответ: 3.

Задание

На швейной фабрике готовые изделия проверяют на два вида брака: тканевый дефект и швейный дефект. Вероятность тканевого дефекта у случайного изделия равна 0,07 . Вероятность швейного дефекта равна 0,04. Дефекты возникают независимо друг от друга. Изделие считается бракованным, если у него есть хотя бы один дефект (тканевый или швейный). Контролёр проверяет изделия одно за другим до первого обнаружения брака. Сколько изделий в среднем ему придётся проверить?

(Ответ при необходимости округли до десятых.)

Решение. 1 .

Найдём вероятность того, что изделие бракованное.

Пусть событие A= «есть тканевый дефект»

(P(A)= 0,07) .

Пусть событие B= «есть швейный дефект»

(P(B)= 0,04) .

Дефекты независимы.

Изделие бракованное, если наступило A или B (или оба). Используем формулу сложения вероятностей для произвольных (совместных) событий:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A)⋅P(B);

P(брак)= 0,07+0,04−0,07⋅0,04 = 0,1072.

Продолжение решения.

2. Применим формулу геометрического распределения.

Вероятность успеха (обнаружить брак) в каждом изделии p= 0,1072.

Количество проверенных изделий до первого брака имеет геометрическое распределение.

E=1:p = 1:0,1072 ≈ 9,3.

Правильный ответ: примерно 9,3.

Задание

Тест по истории содержит 20 вопросов. К каждому вопросу даны 3 варианта ответа, из которых только один правильный. Ученик плохо подготовился и решает отвечать наугад, выбирая случайный вариант. Сколько вопросов он в среднем угадает правильно?

(Ответ при необходимости округли до десятых.)

Шаги решения

1. Вероятность угадать правильный ответ p= 1/3.

Количество испытаний (вопросов) n= 20 .

2. Так как угадывание по каждому вопросу происходит независимо, число правильных ответов имеет биномиальное распределение.

E=n⋅p= 20⋅1/3 = 6,7.

Правильный ответ: 6,7.

Реши еще раз.

• Тест по истории содержит 12 вопросов. К каждому вопросу даны 3 варианта ответа, из которых только один правильный. Ученик плохо подготовился и решает отвечать наугад, выбирая случайный вариант. Сколько вопросов он в среднем угадает правильно?
• (Ответ при необходимости округли до десятых.)

Шаги решения

1. Вероятность угадать правильный ответ

p= 1/3.

Количество испытаний (вопросов) n= 12.

2. Так как угадывание по каждому вопросу происходит независимо, число правильных ответов имеет биномиальное распределение.

E=n⋅p= 12⋅1/3 = 4.

Правильный ответ: 4.

Работал с

удовольствием !

У меня все получилось!

Было интересно,

но не все удалось!

Решал трудные,

непосильные

задания

Спасибо за урок!